Hur man hittar vinkeln mellan två vektorer: 12 steg

I matematik är en vektor något objekt som har en definierbar längd, känd som magnitud och riktning. Eftersom vektorer inte är desamma som standardlinjer eller former, måste du använda några speciella formler för att finna vinklar mellan dem.

Steg

Del 1 av 2:

Hitta vinkeln mellan två vektorer

1. Skriv ner cosinusformeln. För att hitta vinkeln θ mellan två vektorer, börja med formeln för att hitta den vinkelns cosinus. Du kan lära dig om den här formeln nedan, eller skriv bara ner den:

cosθ = ( $\vec{du}$ ${ incrityarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ inRightArrow {v}}$ ) / (|| $\vec{du}$ ${ incrityarrow {u}}$ || || $\vec{v}$ ${ inRightArrow {v}}$ ||)

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ || innebär att "Längden av vektor

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ ."

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ är dotprodukten (skalär produkt) av de två vektorerna, förklaras nedan.

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 1

2. Identifiera vektorerna. Skriv ner all information du har angående de två vektorerna. Vi antar att du bara har vektorns definition när det gäller dess dimensionella koordinater (även kallade komponenter). Om du redan känner till en vektor längd (dess storlek) kan du hoppa över några av stegen nedan.

Exempel: den tvådimensionella vektorn

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ = (2,2). Vektor

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ = (0,3). Dessa kan också skrivas som

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ = 2jag + 2j och

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ = 0jag + 3j = 3j.

Medan vårt exempel använder tvådimensionella vektorer, instruktionerna nedan täcker vektorer med ett antal komponenter.

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 3

3. Beräkna längden på varje vektor. Bild En rätt triangel dras från vektorns X-komponent, dess Y-komponent och själva vektorn. Vektorn bildar hypotenuse av triangeln, så att hitta sin längd använder vi den pythagoreanska teorem. Som det visar sig är denna formel enkelt utsträckt till vektorer med ett antal komponenter.

||du|| = u₁ + du₂. Om en vektor har mer än två komponenter, fortsätt bara lägga till + u₃ + du₄ + ...

Därför för en tvådimensionell vektor, ||du|| = √ (u₁ + du₂).

I vårt exempel, ||

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 4

4. Beräkna dotprodukten av de två vektorerna. Du har nog redan lärt dig den här metoden att multiplicera vektorer, även kallad skalärprodukt.

För att beräkna punktprodukten med avseende på vektorernas komponenter, multiplicera komponenterna i varje riktning ihop och lägg sedan till alla resultat.

För datorgrafikprogram, se Tips innan du fortsätter.

Hitta dot produktexempel
I matematiska termer, $\vec{du}$ ${ incrityarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ inRightArrow {v}}$ = u₁v₁ + du₂v₂, var u = (u₁, du₂). Om din vektor har mer än två komponenter, fortsätt bara att lägga till + u₃v₃ + du₄v₄...
I vårt exempel, $\vec{du}$ ${ incrityarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ inRightArrow {v}}$ = u₁v₁ + du₂v₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Detta är dotprodukten av vektor $\vec{du}$ ${ incrityarrow {u}}$ och $\vec{v}$ ${ inRightArrow {v}}$ .

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 5

5. Anslut dina resultat till formeln. Kom ihåg,

cosθ = (

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ ) / (||

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ || ||

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ ||).

Nu vet du både dotprodukten och längderna av varje vektor. Ange dessa i denna formel för att beräkna cosinusen i vinkeln.

Hitta cosinus med dot produkt och vektorlängder
I vårt exempel, cosθ = 6 / (2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 6

6. Hitta vinkeln baserat på cosinusen. Du kan använda ARCCOS eller COS-funktionen på din räknare till

Hitta vinkeln θ från ett känt cos θ-värde.

För vissa resultat kan du kanske träna vinkeln baserat på enhetskrets.

Hitta en vinkel med cosinus
I vårt exempel är Cosθ = √2 / 2. Stiga på "ARCCOS (√2 / 2)" i din räknare för att få vinkeln. Alternativt, hitta vinkeln θ på enhetens cirkel där Cosθ = √2 / 2. Detta är sant för θ = /₄ eller 45º.
Sätta det ihop är den slutliga formeln:
vinkel θ = arccosin ((( $\vec{du}$ ${ incrityarrow {u}}$ • $\vec{v}$ ${ inRightArrow {v}}$ ) / (|| $\vec{du}$ ${ incrityarrow {u}}$ || || $\vec{v}$ ${ inRightArrow {v}}$ ||))

Del 2 av 2:

Definiera vinkelformeln

1. Förstå syftet med denna formel. Denna formel härleddes inte från befintliga regler. Istället skapades det som en definition av två vektorer dotprodukt och vinkeln mellan dem. Detta beslut var dock inte godtyckligt. Med en titt tillbaka till grundläggande geometri kan vi se varför denna formel resulterar i intuitiva och användbara definitioner.

Exemplen nedan använder tvådimensionella vektorer eftersom det är de mest intuitiva att använda. Vektorer med tre eller flera komponenter har egenskaper definierade med den mycket liknande, allmänna fallformeln.

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 8

2. Granska lagen om cosines. Ta en vanlig triangel, med vinkel θ mellan sidor A och B, och motsatt sida C. Lagen av Cosines säger att C = A + B -2ABcos(θ). Detta härleds ganska enkelt från grundläggande geometri.

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 9

3. Anslut två vektorer för att bilda en triangel. Skissa ett par 2D-vektorer på papper, vektorer

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ och

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ , med vinkel θ mellan dem. Rita en tredje vektor mellan dem för att göra en triangel. Med andra ord, rita vektor

\vec{c}

${ incrityarrow {c}}$ Så att

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ +

\vec{c}

${ incrityarrow {c}}$ =

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ . Denna vektor

\vec{c}

${ incrityarrow {c}}$ =

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ -

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ .

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer steg 10

4. Skriv lagen om cosines för denna triangel. Sätt in längden på vår "Vektor triangel" sidor i kosinanslagen:

||(a - b)|| = ||a|| + ||b|| - 2||a|| ||b||cos(θ)

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 11

5. Skriv det här med DOT-produkter. Kom ihåg att en prickprodukt är förstoringen av en vektor som projiceras på en annan. En Vector`s Dot-produkt med sig själv kräver ingen projicering, eftersom det inte finns någon skillnad i riktning. Detta innebär att

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ •

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ = ||a||. Använd detta faktum för att skriva om ekvationen:

(

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ -

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ ) • (

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ -

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ ) =

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ •

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ +

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ •

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)

Bild med titeln Hitta vinkeln mellan två vektorer Steg 12

6. Skriva om det i den välbekanta formeln. Utvid vänster sida av formeln, sedan förenkla för att nå formeln som används för att finna vinklar.

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ •

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ -

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ •

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ -

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ •

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ +

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ •

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ =

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ •

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ +

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ •

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ - 2||a|| ||b||cos(θ)

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ •

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ -

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ •

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ = -2||a|| ||b||cos(θ)

-2 (

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ •

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ ) = -2||a|| ||b||cos(θ)

\vec{a}

${ incrityarrow {a}}$ •

\vec{b}

${ inRightArrow {b}}$ = ||a|| ||b||cos(θ)

Video.

Genom att använda den här tjänsten kan viss information delas med YouTube.

Tips

För en snabb plugg och lösa, använd den här formeln för alla par tvådimensionella vektorer: cosθ = (u₁ • V₁ + du₂ • V₂) / (√ (u₁ • U₂) • √ (v₁ • V₂)).

Om du arbetar med ett datorgrafikprogram, troligen bara bryr dig bara om vektorens riktning, inte deras längd. Ta dessa steg för att förenkla ekvationerna och påskynda ditt program:

Normalisera varje vektor så längden blir 1. För att göra detta, dela varje komponent i vektorn av vektorns längd.

Ta dotprodukten av de normaliserade vektorerna istället för de ursprungliga vektorerna.

Eftersom längden är lika med 1, lämna längdvillkoren ur din ekvation. Din slutliga ekvation för vinkeln är ARCCOS (

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ ).

Baserat på cosinusformeln kan vi snabbt hitta om vinkeln är akut eller otrevlig. Börja med Cosθ = (

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ •

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ ) / (||

\vec{du}

${ incrityarrow {u}}$ || ||

\vec{v}

${ inRightArrow {v}}$ ||):

Ekvationens vänstra sida och höger sida måste ha samma tecken (positiv eller negativ).

Eftersom längderna alltid är positiva måste Cosθ ha samma tecken som dotprodukten.

Därför, om dotprodukten är positiv, är Cosθ positiv. Vi är i den första kvadranten av enhetens cirkel, med θ < π / 2 eller 90º. Vinkeln är akut.

Om dotprodukten är negativ är Cosθ negativ. Vi är i den andra kvadranten av enhetens cirkel, med π / 2 < θ ≤ π eller 90º < θ ≤ 180º. Vinkeln är otydlig.

Dela på det sociala nätverket: