Hur man differentiera exponentiella funktioner

Exponentiella funktioner är en speciell kategori av funktioner som involverar exponenter som är variabler eller funktioner. Med hjälp av några av de grundläggande reglerna för kalkyl kan du börja med att hitta derivatet av en grundläggande funktioner som $a x$ $A ^ {x}$ . Detta ger då en form som du kan använda för någon numerisk bas upptagen till en variabel exponent. Utöka detta arbete kan du också hitta derivatet av funktioner där exponenten är en funktion. Slutligen kommer du att se hur man differentiera "Power Tower", en speciell funktion där exponenten matchar basen.

Steg

Del 1 av 4:

Differentiera allmänna exponentiella funktioner

1. Börja med en allmän exponentiell funktion. Börja med en grundläggande exponentiell funktion med en variabel som basen. Genom att beräkna derivatet av den allmänna funktionen på det här sättet kan du använda lösningen som modell för en fullständig familj av liknande funktioner.

$y = a x$ $y = a ^ {{x}}$

2. Ta den naturliga logaritmen på båda sidor. Du måste manipulera funktionen för att hjälpa till att hitta ett standardderivat när det gäller variabeln

x

$x$ . Detta börjar med att ta den naturliga logaritmen på båda sidor, enligt följande:

\ln y = \ln a x

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Eliminera exponenten. Med hjälp av logariternas regler kan denna ekvation förenklas för att eliminera exponenten. Exponenten inom logaritmfunktionen kan avlägsnas som en multipel framför logaritmen, enligt följande:

\ln y = x \ln a

$ln y = x ln a$

4. Differentiera båda sidor och förenkla. Nästa steg är att differentiera varje sida med avseende på

x

$x$ . Därför att

a

$a$ är en konstant, då

\ln a

$ln a$ är också en konstant. Derivatet av

x

$x$ förenklar till 1, och termen försvinner. Stegen är följande:

\ln y = x \ln a

$ln y = x ln a$

d d x \ln y = d d x x \ln a

${ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln a$

\frac{1}{y} d y d x = \ln a d d x x

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a { frac {d} {dx}} x$

\frac{1}{y} d y d x = \ln a * 1

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{y} d y d x = \ln a

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

5. Förenkla att lösa för derivatet. Multiplicera båda sidorna med y för att isolera derivatet. Med hjälp av grundläggande steg i algebra, multiplicera båda sidor av denna ekvation av

y

$y$ . Detta kommer att isolera derivatet av

y

$y$ på vänster sida av ekvationen. Minns sedan det

y = a x

$y = a ^ {x}$ , Sålunda ersätta det värdet på höger sida av ekvationen. Stegen ser ut så här:

\frac{1}{y} d y d x = \ln a

${ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a$

d y d x = y \ln a

${ frac {dy} {dx}} = y ln a$

d y d x = a^{x} \ln a

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a$

6. Tolka det slutliga resultatet. Påminner om att den ursprungliga funktionen var den exponentiella funktionen

y = a x

$y = a ^ {x}$ , Denna lösning visar att derivatet av den allmänna exponentiella funktionen är

a x \ln a

$a ^ {x} ln a$ .

Detta kan utökas för vilket värde som helst

a

$a$ , som i följande exempel:

d d x 2^{x} = 2^{x} \ln 2

${ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} ln 2$

d d x 3^{x} = 3^{x} \ln 3

${ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3$

d d x 10^{x} = 10^{x} \ln 10

${ frac {d} {dx}} 10 ^ {x} ln 10$

Del 2 av 4:

Förlänga beviset för derivatet av E

1. Välj det speciella exemplet. Den tidigare delen visade hur man differentiera det allmänna fallet med en exponentiell funktion med någon konstant som basen. Välj sedan det speciella fallet där basen är den exponentiella konstanten

e

$e$ .

$e$ $e$ är den matematiska konstanten som är ungefär lika med 2.718.
För denna avledning, välj den speciella funktionen $y = e x$ $y = e ^ {x}$ .

2. Använd beviset på det allmänna exponentiella funktionderivatet. Återkallas, från föregående avsnitt, att derivatet av en allmän exponentiell funktion

a x

$A ^ {x}$ är

a x \ln a

$a ^ {x} ln a$ . Applicera detta resultat på den speciella funktionen

e x

$E ^ {x}$ som följer:

y = e x

$y = e ^ {x}$

d y d x = d d x e^{x}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}$

d y d x = e^{x} \ln e

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

3. Förenkla resultatet. Minns att den naturliga logaritmen är baserad på den speciella konstanten

e

$e$ . Därför den naturliga logaritmen av

e

$e$ är bara 1. Detta förenklar derivatresultatet enligt följande:

d y d x = e^{x} \ln e

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

d y d x = e^{x} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

d y d x = e^{x}

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}$

4. Tolka det slutliga resultatet. Detta bevis leder till det speciella fallet att funktionens derivat

e x

$E ^ {x}$ är det själva själva. Således:

d d x e^{x} = e^{x}

${ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}$

Del 3 av 4:

Hitta derivatet av E med en funktionell exponent

1. Definiera din funktion. För det här exemplet hittar du det allmänna derivatet av funktioner som har

e

$e$ uppvuxen till en exponent, när exponenten själv är en funktion av

x

$x$ .

Tänk som ett exempel funktionen $y = e 2 x + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Definiera variabeln du { displayStyle u} $du$ . Denna lösning kommer att involvera kedjeregeln av derivat. Minns att kedjeregeln gäller när du har en funktion,

du (x)

$u (x)$ nested inuti en annan,

f (x)

$f (x)$ , Som du har här. Kedjeregeln anger:

d y d x = d y d du * d du d x

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

Sammanfattningsvis kommer du att definiera exponenten som en separat funktion

du (x)

$u (x)$ .

För detta exempel är exponenten den kapslade funktionen

du (x)

$u (x)$ . Således, för detta exempel:

y = e du

$y = e ^ {u}$ , och

du = 2 x + 3

$u = 2x + 3$

3. Applicera kedjeregeln. Kedjeregeln kräver att du hittar derivaten av båda funktionerna

y

$y$ och

du

$du$ . Det resulterande derivatet är då produkten av de två.

De två separata derivaten är:

d y d du = d d du e^{du} = e^{du}

${ displayStyle { frac {dy} {d}} = { frac {d} {du} = e ^ {u}}$ . (Kom ihåg att derivatet av

e x

$E ^ {x}$ är

e x

$E ^ {x}$ .)

d du d x = d d x (2 x + 3) = 2

${ frac {du} {dx}} = { frac {d} {dx}} (2x + 3) = 2$

Efter att ha hittat de två separata derivaten, kombinera dem för att hitta derivatet av den ursprungliga funktionen:

d y d x = d y d du * d du d x

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

d d x e^{2 x + 3} = e^{(2 x + 3)} * 2 = 2 e^{(2 x + 3)}

${ frac {d} {dx}} e} {{2x + 3}} = e} {{(2x + 3)}} * 2 = 2e} {{(2x + 3)}}$

4. Öva ett annat exempel på e { displayStyle e} $e$ med en funktionell exponent. Välj ett annat exempel,

y = e synd x

$y = e ^ {{ sin x}}$ .

Definiera den kapslade funktionen. I detta fall,

du = synd x

$u = synd x$ .

Hitta derivaten av funktionerna

y

$y$ och

du

$du$ .

d y d du = e^{du}

${ frac {dy} {du}} = e ^ {u}$

d du d x = \cos x

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Kombinera med hjälp av kedjeregeln:

y = e synd x

$y = e ^ {{ sin x}}$

d y d x = d y d du * d du d x

${ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}$

d d x e^{synd x} = e^{du} * \cos x = e^{synd x} \cos x

${ frac {d} {dx}} e} {{ sin x}} = e ^ {u} * cos x = e} cos x$

Del 4 av 4:

Hitta derivatet av x

1. Definiera funktionen. För detta speciella exempel, ibland kallas "Power Tower", välj funktionen så att:

$y = x x$ $y = x ^ {x}$

2. Hitta den naturliga logaritmen på varje sida. Som tidigare börjar lösningen här med den naturliga logaritmen för varje sida av ekvationen:

\ln y = \ln (x x)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln y = x \ln x

$ln y = x ln x$

3. Ta derivatet av varje sida av ekvationen. På den högra sidan av denna ekvation måste du tillämpa produktregeln av derivat. Erinrar om att produktregeln anger att om