4 sätt att hitta någon aritmetisk sekvens

En aritmetisk sekvens är någon lista över nummer som skiljer sig från en till och med, med en konstant mängd. Till exempel, listan över jämntal, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ ... är en aritmetisk sekvens, eftersom skillnaden från ett nummer i listan till nästa är alltid 2. Om du vet att du arbetar med en aritmetisk sekvens kan du bli ombedd att hitta nästa term från en viss lista. Du kan också bli ombedd att fylla i ett gap där en term saknas. Slutligen kanske du vill veta, till exempel den 100: e termen, utan att verkligen skriva ut alla 100 termer. Några enkla steg kan hjälpa dig att göra något av dessa.

Steg

Metod 1 av 4:

Hitta nästa term i en aritmetisk sekvens

1. Hitta den gemensamma skillnaden för sekvensen. När du presenteras med en lista med siffror kan du få veta att listan är en aritmetisk sekvens, eller du kan behöva räkna ut det själv. Det första steget är detsamma i båda fallen. Välj de två första på varandra följande villkoren i listan. Subtrahera den första termen från den andra termen. Resultatet är den vanliga skillnaden i din sekvens.

Antag till exempel att du har listan $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Subtrahera $4 - 1$ $4-1$ För att hitta den gemensamma skillnaden på 3.
Antag att du har en lista över termer som minskar, till exempel $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Du subtraherar fortfarande den första termen från den andra för att hitta skillnaden. I det här fallet ger det dig $21 - 25 = - 4$ $21-25 = -4$ . Det negativa resultatet innebär att din lista minskar när du läser från vänster till höger. Du bör alltid kontrollera att skylten på skillnaden matchar den riktning som siffrorna verkar gå.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 2

2. Kontrollera att den gemensamma skillnaden är konsekvent. Att hitta den gemensamma skillnaden för bara de två första termerna garanterar inte att din lista är en aritmetisk sekvens. Du måste se till att skillnaden är konsekvent för hela listan. Kontrollera skillnaden genom att subtrahera två olika konsekutiva termer i listan. Om resultatet är konsekvent för en eller två andra par av termer, har du förmodligen en aritmetisk sekvens.

Arbetar med samma exempel,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ... Välj den andra och tredje villkoren i listan. Subtrahera

7 - 4

$7-4$ , och du finner att skillnaden är fortfarande 3. För att bekräfta, kontrollera ytterligare ett exempel och subtrahera

13 - 10

$13-10$ , och du finner att skillnaden är konsekvent 3. Du kan vara ganska säker på att du arbetar med en aritmetisk sekvens.

Det är möjligt att en lista med siffror verkar vara en aritmetisk sekvens baserat på de första termerna, men misslyckas sedan efter det. Tänk till exempel listan

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... Skillnaden mellan den första och andra termerna är 1, och skillnaden mellan den andra och tredje termerna är också 1. Skillnaden mellan den tredje och fjärde termen är dock 3. Eftersom skillnaden inte är vanligt för hela listan, är det inte en aritmetisk sekvens.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 3

3. Lägg till den vanliga skillnaden på den senast givna termen. Hitta nästa term av en aritmetisk sekvens efter att du vet att den vanliga skillnaden är lätt. Lägg bara till den vanliga skillnaden i listanens sista sikt, och du får nästa nummer.

Till exempel i exemplet av

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., för att hitta nästa nummer i listan, lägg till den vanliga skillnaden på 3 till den senast givna termen. Lägga till

13 + 3

$13 + 3$ resulterar i 16, vilket är nästa term. Du kan fortsätta lägga till 3 för att göra din lista så länge du vill. Till exempel skulle listan vara

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... Du kan göra det så länge du vill.

Metod 2 av 4:

Hitta en saknad internt term

1. Verifiera att du börjar med en aritmetisk sekvens. I vissa fall kan du ha en lista med siffror med en saknad term i mitten. Börja, som tidigare, genom att kontrollera att din lista är en aritmetisk sekvens. Välj två på varandra följande termer och hitta skillnaden mellan dem. Kontrollera sedan detta mot två andra på varandra följande villkor i listan. Om skillnaderna är desamma, kan du anta att du arbetar med en aritmetisk sekvens och fortsätt.

Antag till exempel att du har listan $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Börja med att subtrahera $4 - 0$ $4-0$ att hitta en skillnad på 4. Kontrollera detta mot två andra konsekutiva termer, till exempel $16 - 12$ $16-12$ . Skillnaden är igen 4. Du kan fortsätta.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 5

2. Lägg till den vanliga skillnaden i termen före utrymmet. Detta liknar att lägga till en term till slutet av en sekvens. Hitta termen som omedelbart föregår utrymmet i din sekvens. Detta är det "sista" numret som du vet. Lägg till din vanliga skillnad i denna term, för att hitta numret som ska fylla i utrymmet.

I vårt arbetsexempel,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., termen före utrymmet är 4, och vår gemensamma skillnad för den här listan är också 4. Lägg till

4 + 4

$4 + 4$ att få 8, som borde vara numret i det tomma utrymmet.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 6

3. Subtrahera den gemensamma skillnaden från termen efter utrymmet. För att vara säker på att du har rätt svar, kolla från andra riktningen. En aritmetisk sekvens bör vara konsekvent i båda riktningarna. Om du flyttar från vänster till höger och lägg till 4, går du i motsatt riktning, från höger till vänster, skulle du göra motsatsen och subtrahera 4.

I det arbetsexempel,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., termen omedelbart efter utrymmet är 12. Subtrahera den gemensamma skillnaden av 4 från denna term för att hitta

12 - 4 = 8

$12-4 = 8$ . Resultatet av 8 bör fylla i det tomma utrymmet.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 7

4. Jämför dina resultat. De två resultat som du får, från att lägga upp från botten eller från att subtrahera ner från toppen ska matcha. Om de gör det har du funnit värdet för den saknade termen. Om de inte gör det, måste du kontrollera ditt arbete. Du får inte ha en sann aritmetisk sekvens.

I det arbetsexemplet är de två resultaten av

4 + 4

$4 + 4$ och

12 - 4

$12-4$ Båda gav lösningen av 8. Därför är den saknade termen i denna aritmetiska sekvens 8. Den fullständiga sekvensen är

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

Metod 3 av 4:

Hitta nth termen av en aritmetisk sekvens

1. Identifiera den första termen av sekvensen. Inte varje sekvens börjar med siffrorna 0 eller 1. Titta på listan över nummer som du har och hitta den första termen. Detta är din utgångspunkt, som kan betecknas med hjälp av variabler som en (1).

Det är vanligt att arbeta med aritmetiska sekvenser för att använda variabeln A (1) för att beteckna den första termen av en sekvens. Du kan naturligtvis välja vilken som helst variabel som du vill, och resultaten ska vara desamma.
Till exempel, med tanke på sekvensen $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ ..., den första termen är $3$ $3$ , som kan betecknas algebraiskt som en (1).

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 9

2. Definiera din vanliga skillnad som d. Hitta den gemensamma skillnaden för sekvensen som tidigare. I detta arbetsexempel är den gemensamma skillnaden

8 - 3

$8-3$ , vilket är 5. Kontrollera med andra termer i sekvensen ger samma resultat. Vi noterar den här vanliga skillnaden med den algebraiska variabeln.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 10

3. Använd den explicit formeln. En tydlig formel är en algebraisk ekvation som du kan använda för att hitta någon term av en aritmetisk sekvens utan att behöva skriva ut hela listan. Den uttryckliga formeln för en algebraisk sekvens är

a (n) = a (1) + (n - 1) d

$A (n) = a (1) + (n-1) d$ .

Termen A (n) kan läsas som "nth termen av a" där n representerar vilket nummer i listan du vill hitta och a (n) är det faktiska värdet av det numret. Till exempel, om du är ombedd att hitta den 100: e posten i en aritmetisk sekvens, kommer n att vara 100. Observera att n är 100, i detta exempel, men a (n) kommer att vara värdet av den 100: e termen, inte numret 100 själv.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 11

4. Fyll i din information för att lösa problemet. Med hjälp av den explicit formeln för din sekvens, fyll i den information du vet för att hitta den term som du behöver.

Till exempel, i det arbetsexempel

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ ..., vi vet att en (1) är den första termen 3, och den gemensamma skillnaden d är 5. Antag att du uppmanas att hitta den 100: e termen i den sekvensen. Då n = 100, och (n-1) = 99. Den fullständiga uttryckliga formeln, med de data som fylls i, är då

a (100) = 3 + (99) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . Detta förenklar 498, vilket är den 100: e termen av den sekvensen.

Metod 4 av 4:

Med hjälp av den explicitformel för att hitta ytterligare information

1. Ordna om den explicit formeln för att lösa för andra variabler. Med hjälp av den explicit formeln och någon grundläggande algebra kan du hitta flera bitar av information om en aritmetisk sekvens. I sin ursprungliga form,

a (n) = a (1) + (n - 1) d

$A (n) = a (1) + (n-1) d$ , Den uttryckliga formeln är utformad för att lösa för a_n och ge dig nth termen av en sekvens. Du kan dock algebraiskt manipulera denna formel och lösa för någon av variablerna.

Anta till exempel att du har slutet på en lista med siffror, men du behöver veta vad början av sekvensen var. Du kan omorganisera formeln för att ge dig $a (1) = a (n) - (n - 1) d$ ${ displayStyle a (1) = a (n) - (n-1) d}$
Om du känner till utgångspunkten för en aritmetisk sekvens och dess slutpunkt, men du behöver veta hur många termer som finns i listan, kan du omorganisera den explicit formeln för att lösa för n. Detta skulle vara $n = a (n) - a (1) d + 1$ $n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .
Om du behöver granska de grundläggande reglerna för algebra för att skapa detta resultat, kolla in Lär dig algebra eller Förenkla algebraiska uttryck.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 13

2. Hitta den första termen av en sekvens. Du kanske vet att den 50: e termen av en aritmetisk sekvens är 300, och du vet att villkoren har ökat med 7 (den "vanliga skillnaden"), men du vill ta reda på vad den första termen av sekvensen var. Använd den reviderade uttryckliga formeln som löser för A1 för att hitta ditt svar.

Använd ekvationen

a (1) = (n - 1) d - a (n)

$A (1) = (n-1) D-A (n)$ , och fyll i den information du vet. Eftersom du vet att 50: e termen är 300, då n = 50, n-1 = 49 och a (n) = 300. Du får också att den gemensamma skillnaden, D, är 7. Därför blir formeln

a (1) = (49) (7) - 300

$A (1) = (49) (7) -300$ . Detta fungerar till

343 - 300 = 43

$343-300 = 43$ . Den sekvens som du har börjat vid 43, och räknas upp med 7. Därför ser det ut som 43,50,57,64,71,78 ... 293,300.

Bild med titeln Hitta någon term av en aritmetisk sekvens Steg 14

3. Hitta längden på en sekvens. Antag att du vet allt om början och slutet av en aritmetisk sekvens, men du måste ta reda på hur länge det är. Använd den reviderade formeln

n = a (n) - a (1) d + 1

$n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .

Antag att du vet att en given aritmetisk sekvens börjar vid 100 och ökar med 13. Du får också veta att den slutliga termen är 2 856. För att hitta längden på sekvensen, använd termerna A1 = 100, d = 13 och A (n) = 2856. Sätt in dessa termer i formeln för att ge

n = 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . Om du arbetar ut det, får du

n = \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , vilket är lika med 212 + 1, vilket är 213. Det finns 213 termer i den sekvensen.

Denna provsekvens skulle se ut som 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

Varningar

Det finns olika typer av sekvenser av siffror. Antag inte att en lista med siffror är en aritmetisk sekvens. Kontrollera alltid minst två par, eller helst tre eller fyra, för att hitta den gemensamma skillnaden mellan termer.