Hur man beräknar kombinationer: 8 steg (med bilder)

Permutationer och kombinationer har användning i matte klasser och i det dagliga livet. Tack och lov är de lätta att beräkna när du vet hur. Till skillnad från permutationer, där grupporderfrågor, i kombinationer, spelar ordern ingen roll. Kombinationer berättar hur många sätt det ska kombinera ett visst antal saker i en grupp. För att beräkna kombinationer behöver du bara veta hur många objekt du väljer, antalet objekt som ska väljas, och huruvida repetition är tillåtet (i den vanligaste formen av detta problem är repetition inte tillåten).

Steg

Metod 1 av 2:

Beräkning av kombinationer utan upprepning

1. Tänk på ett exempel Problem där beställningen inte spelar någon roll och upprepning är inte tillåtet. I denna typ av problem kommer du inte att använda samma sak mer än en gång.

Du kan till exempel ha 10 böcker, och du vill hitta antalet sätt att kombinera 6 av dessa böcker på din hylla. I det här fallet, du inte Vård om order - Du vill bara veta vilka grupper av böcker du kan visa, förutsatt att du bara använder en given bok en gång.
Denna typ av problem är ofta märkt som $n C_{r}$ ${} _ {{n}} c _ {{r}}$ , $C (n, r)$ $C (n, r)$ , $(\frac{n}{r})$ ${ binom {n} {r}}$ , eller "n Välj R".
I alla dessa noteringar, $n$ $n$ är antalet objekt du måste välja mellan (ditt prov) och $r$ $r$ är antalet objekt du ska välja.

2. Känn formeln:

n C_{r} = n! (n - r)! r!

${} _ {{r}} = { frac {n!} {(n-r)! r!}}$ .

Formeln är liknande den för permutationer men inte exakt detsamma. Permutationer kan hittas med

n F_{r} = n! (n - r)!

${} _ {{n}} p _ {{r}}} {(n-r)!}}$ . Kombinationsformeln är något annorlunda eftersom beställningen inte längre är viktigt - därför delar du permutationsformeln med

n!

$n!$ För att eliminera uppsägningarna. Du reducerar väsentligen resultatet med antalet alternativ som skulle betraktas som en annan permutation men samma kombination (eftersom order spelar ingen roll för kombinationer).

3. Anslut dina värden för n { displayStyle n} $n$ och

r { displayStyle r} $r$ .

I det ovanstående fallet skulle du ha den här formeln:

n C_{r} = 10! (10 - 6)! 6!

${} _ {{r}} = { frac {10!} {(10-6)! 6!}}$ . Det skulle förenkla till

n C_{r} = 10! (4!) (6!)

${} _ {{r}} = { frac {10!} {(4!) (6!)}}$ .

4. Lös ekvationen för att hitta antalet kombinationer. Du kan göra det antingen för hand eller med en räknare.

Om du har en räknare tillgänglig, hitta den faktoriella inställningen och använd det för att beräkna antalet kombinationer. Om du använder Google Calculator, klicka på X! knapp varje gång efter att ha använt de nödvändiga siffrorna.

Om du måste lösa för hand, kom ihåg det för varje factorial, Du börjar med det huvudtal som anges och sedan multiplicera det med nästa minsta antal, och så vidare tills du kommer ner till 0.

För exemplet kan du beräkna 10! med (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), vilket ger dig 3 628 800. Hitta 4! med (4 * 3 * 2 * 1), vilket ger dig 24. Hitta 6! med (6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1), vilket ger dig 720.

Multiplicera sedan de två siffrorna som lägger till summan av objekt tillsammans. I det här exemplet borde du ha 24 * 720, så 17.280 kommer att vara din nämnare.

Dela faktoriell av den totala av denominatorn, såsom beskrivits ovan: 3,628,800 / 17,280.

I exemplet fallet skulle du få 210. Det innebär att det finns 210 olika sätt att kombinera böckerna på en hylla, utan repetition och där beställningen inte spelar någon roll.

Metod 2 av 2:

Beräkning av kombinationer med repetition

1. Tänk på ett exempel problem där beställningen inte spelar någon roll men upprepning är tillåten. I denna typ av problem kan du använda samma sak mer än en gång.

Föreställ dig till exempel att du ska beställa 5 objekt från ett meny som erbjuder 15 objekt - Ordern för dina val spelar ingen roll, och du har inget emot att få multiplar av samma sak (dvs. repetitioner är tillåtna).
Denna typ av problem kan märkas som $n + r - 1 C_{r}$ ${} _ {{n + r-1}} c _ {{r}}$ . Du skulle generellt använda $n$ $n$ För att representera antalet alternativ du måste välja mellan och $r$ $r$ För att representera antalet objekt du ska välja. Kom ihåg, i den här typen av problem, är repetition tillåtet och ordern är inte relevant.
Detta är den minst vanliga och minst förstådda typen av kombination eller permutation, och är inte generellt undervisad så ofta. Där det är täckt är det ofta också känt som en k-urval, a k-multiset, eller a k-kombination med repetition.

2. Känn formeln:

n + r - 1 C_{r} = (n + r - 1)! (n - 1)! r!

${} _ {{n + r-1}} c _ {{r}} = { frac {(n + r-1)!} {(n-1)! r!}}$ .

3. Anslut dina värden för n { displayStyle n} $n$ och

r { displayStyle r} $r$ .

I exemplet fallet skulle du ha den här formeln:

n + r - 1 C_{r} = (15 + 5 - 1)! (15 - 1)! 5!

${} _ {{n + r-1}} c _ {{r}} = { frac {(15 + 5-1)!} {(15-1)! 5!}}$ . Det skulle förenkla till

n + r - 1 C_{r} = 19! (14!) (5!)

${} _ {{n + r-1}} c _ {{R}} = { frac {19!} {(14!) (5!)}}$ .

4. Lös ekvationen för att hitta antalet kombinationer. Du kan göra det antingen för hand eller med en räknare.

Om du måste lösa för hand, kom ihåg det för varje factorial, Du börjar med det huvudtal som anges och sedan multiplicera det med nästa minsta antal, och så vidare tills du kommer ner till 0.

För exemplet problem, bör din lösning vara 11.628. Det finns 11.628 olika sätt att beställa några 5 objekt från ett urval av 15 objekt på en meny, där beställningen inte spelar någon roll och upprepning är tillåten.

Tips

Vissa grafiska kalkylatorer erbjuder en knapp för att hjälpa dig att lösa kombinationer utan repetition snabbt. Det ser vanligtvis ut _nC_r. Om din räknare har en, slå din

n

$n$ Värde först, sedan kombinationsknappen och sedan din

r

$r$ värde.

Dela på det sociala nätverket: