3 sätt att faktor algebraiska ekvationer

I matematik, factoring är handlingen att hitta siffrorna eller uttryck som multiplicerar tillsammans för att göra ett givet antal eller ekvation. Factoring är en användbar skicklighet för att lära sig att lösa grundläggande algebraproblem - förmågan att kompetent faktor blir nästan nödvändig när man arbetar med kvadratiska ekvationer och andra former av polynomier. Factoring kan användas för att förenkla algebraiska uttryck för att göra enklare. Factoring kan till och med ge dig möjlighet att eliminera vissa möjliga svar mycket snabbare än du skulle kunna genom att lösa manuellt.

Steg

Metod 1 av 3:

Factoring nummer och grundläggande algebraiska uttryck

1. Förstå definitionen av factoring när den tillämpas på ett nummer. Factoring är konceptuellt enkel, men i praktiken kan det vara utmanande när det gäller komplexa ekvationer. På grund av detta är det lättast att närma sig begreppet factoring genom att börja med ett enkelt antal, gå vidare till enkla ekvationer innan de äntligen fortsätter till mer avancerade applikationer. Ett visst antal faktorer är siffrorna som multiplicerar för att ge det numret. Exempelvis är faktorerna av 12 1, 12, 2, 6, 3 och 4, eftersom 1 x 12, 2 x 6 och 3 × 4 är lika med 12.

Ett annat sätt att tänka på detta är att ett visst antal faktorer är de siffror som det är jämnt delbart.
Kan du hitta alla faktorer av nummer 60? Vi använder nummer 60 för en mängd olika ändamål (minuter på en timme, sekunder i en minut, etc.) Eftersom det är jämnt delbart med ett ganska stort antal siffror.

Faktorerna på 60 är 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 och 60.

Bild med titeln Faktor algebraiska ekvationer Steg 2

2. Förstå att variabla uttryck också kan faktureras. Precis som ensamma nummer kan faktureras, så kan också variabler med numeriska koefficienter. För att göra detta, hitta helt enkelt faktorerna för variabelns koefficient. Att veta hur man kan faktorvariabler är användbart för att förenkla algebraiska ekvationer som variablerna är en del av.

Till exempel kan variabeln 12X skrivas som en produkt av faktorerna på 12 och X. Vi kan skriva 12x som 3 (4x), 2 (6x), etc., Användning av vilka faktorer av 12 är bäst för våra ändamål.

Vi kan till och med gå så långt som att faktor 12x flera gånger. Med andra ord behöver vi inte sluta med 3 (4x) eller 2 (6x) - vi kan faktor 4x och 6x för att ge 3 (2 (2x) respektive 2 (3 (2x). Självklart är dessa två uttryck lika.

Bild med titeln Faktor algebraiska ekvationer Steg 3

3. Applicera den distributiva egenskapen för multiplikation till faktoralgebraiska ekvationer. Med hjälp av din kunskap om hur man faktor både ensamma nummer och variabler med koefficienter kan du förenkla enkla algebraiska ekvationer genom att hitta faktorer som siffrorna och variablerna i en algebraisk ekvation har gemensamt. Vanligtvis, för att göra ekvationen så enkelt som möjligt, försöker vi söka efter största gemensamma faktorn. Denna förenklingsprocess är möjlig på grund av den distributiva egenskapen hos multiplicering, som anger att för några nummer A, B och C, A (B + C) = AB + AC.

Låt oss prova ett exempel. För att faktor den algebraiska ekvationen 12 x + 6, låt oss först hitta den största gemensamma fondföraren på 12x och 6. 6 är det största numret som delar sig jämnt i både 12x och 6, så vi kan förenkla ekvationen till 6 (2x + 1).

Denna process gäller även ekvationer med negativ och fraktioner. X / 2 + 4 kan till exempel förenklas till 1/2 (x + 8), och -7x + -21 kan faktureras till -7 (x + 3).

Metod 2 av 3:

Factoring kvadratisk ekvationer

1. Se till att ekvationen är i kvadratisk form (AX + BX + C = 0). Kvadratiska ekvationer är av formen AX + BX + C = 0, där A, B och C är numeriska konstanter och A motsvarar inte 0 (Observera att a burk lika med 1 eller -1). Om du har en ekvation som innehåller en variabel (X) som har ett eller flera villkor med X till den andra effekten, kan du vanligtvis flytta termerna i ekvationen runt med hjälp av grundläggande algebraiska operationer för att få 0 på ena sidan av lika tecken och axel, etc. på andra sidan.

Till exempel, låt oss överväga den algebraiska ekvationen. 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 kan förenklas till x + 6x + 9 = 0, som ligger i den kvadratiska formen.
Ekvationer med större krafter av X, som X, X, etc. kan inte vara kvadratiska ekvationer. De är kubiska ekvationer, kvartiska ekvationer, och så vidare, om inte ekvationen kan förenklas för att eliminera dessa villkor av X ovanför kraften 2.

Bild med titeln Faktor algebraiska ekvationer Steg 5

2. I kvadratiska ekvationer där a = 1, faktor till (x + d) (x + e), där d × e = c och d + e = b. Om din kvadratisk ekvation är i formuläret X + BX + C = 0 (med andra ord, om Coefficienten för X-termen = 1), är det möjligt (men inte garanterat) att en relativt enkel genväg kan användas för att faktor ekvation. Hitta två nummer som båda multiplicerar för att göra c och Lägg till för att göra B. När du har hittat dessa två nummer D och E, placera dem i följande uttryck: (x + d) (x + e). Dessa två termer, när de multiplicerade, producerar din kvadratiska ekvation - med andra ord är de din kvadratiska ekvationens faktorer.

Till exempel, låt oss överväga den kvadratiska ekvationen x + 5x + 6 = 0. 3 och 2 multiplicera tillsammans för att göra 6 och lägger också till att göra 5, så vi kan förenkla denna ekvation till (x + 3) (x + 2).

Små variationer på denna grundläggande genväg finns för små variationer i själva ekvationen:

Om den kvadratiska ekvationen är i formuläret X-BX + C, är ditt svar i detta formulär: (x - _) (x - _).

Om det är i formuläret X + BX + C, ser ditt svar så här: (x + _) (x + _).

Om det är i formuläret X-BX-C, svarar du i formuläret (x + _) (x - _).

Obs! Numren i ämnena kan vara fraktioner eller decimaler. Till exempel, ekvationen x + (21/2) x + 5 = 0 faktorer till (x + 10) (x + 1/2).

Bild med titeln Faktor algebraiska ekvationer Steg 6

3. Om möjligt, faktor genom inspektion. Tro det eller inte, för okomplicerade kvadratiska ekvationer, är ett av de accepterade faktorn för factoring helt enkelt att undersöka problemet, då bara överväga eventuella svar tills du hittar den rätta. Detta är också känt som factoring genom inspektion. Om ekvationen är i formen AX + BX + C och A>1, ditt faktiska svar kommer att vara i formuläret (DX +/- _) (ex +/- _), där D och E är nonzero numeriska konstanter som multiplicerar för att göra en. Antingen d eller e (eller båda) burk vara nummer 1, men det är inte nödvändigtvis så. Om båda är 1, har du i huvudsak använt genvägen som beskrivs ovan.

Låt oss överväga ett exempel. 3x - 8x + 4 verkar först skrämmande. Men när vi inser att 3 bara har två faktorer (3 och 1) blir det lättare, för vi vet att vårt svar måste vara i formuläret (3x +/- _) (x +/- _). I det här fallet ger ett -2 till både tomma utrymmen rätt svar. -2 × 3x = -6x och -2 × x = -2x. -6x och -2x Lägg till -8x. -2 × -2 = 4, så vi kan se att de faktiska termerna i parentes multiplicerar för att bli den ursprungliga ekvationen.

Bild med titeln Faktor algebraiska ekvationer Steg 7

4. Lös genom att fylla i torget. I vissa fall kan kvadratiska ekvationer snabbt och enkelt faktureras genom att använda en speciell algebraisk identitet. Någon kvadratisk ekvation av formen x + 2xh + h = (x + h). Så, om, i din ekvation, är ditt B-värde två gånger kvadratroten av ditt C-värde, din ekvation kan faktureras till (x + (sqrt (c))).

Till exempel passar ekvationen x + 6x + 9 denna form. 3 är 9 och 3 × 2 är 6. Så vet vi att den faktiska formen av denna ekvation är (x + 3) (x + 3), eller (x + 3).

Bild med titeln Faktor algebraiska ekvationer Steg 8

5. Använd faktorer för att lösa kvadratiska ekvationer. Oavsett hur du faktor ditt kvadratiska uttryck, en gång det är fakturerat, kan du hitta möjliga svar för värdet av x genom att ställa in varje faktor som är lika med noll och lösning. Eftersom du letar efter värden på X som orsakar att din ekvation är lika noll, är ett värde av X som gör någon av dina faktorer lika noll ett möjligt svar för din kvadratiska ekvation.

Låt oss återvända till ekvationen x + 5x + 6 = 0. Denna ekvation som faktureras till (x + 3) (x + 2) = 0. Om någon av faktorerna är lika med 0 är hela ekvationen lika med 0, så våra möjliga svar för X är de siffror som gör (x + 3) och (x + 2) lika med 0. Dessa siffror är -3 respektive -2.

Bild med titeln Faktor algebraiska ekvationer Steg 9

6. Kontrollera dina svar - några av dem kan vara utomordentligt! När du har hittat dina möjliga svar för X, anslut dem tillbaka till din ursprungliga ekvation för att se om de är giltiga. Ibland, svaren du hittar inte orsaka att den ursprungliga ekvationen är lika med noll när den är inkopplad i. Vi kallar dessa svar främmande och bortse från dem.

Låt oss plugga -2 och -3 inx + 5x + 6 = 0. Först, -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Detta är korrekt, så -2 är ett giltigt svar.

Nu, låt oss försöka -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Detta är också korrekt, så -3 är också ett giltigt svar.

Metod 3 av 3:

Factoring andra former av ekvationer

1. Om ekvationen är i form A-B, faktor den till (A + B) (A-B). Ekvationer med två variablerfaktor annorlunda än Basic Quadratics. För varje ekvation A-B där A och B inte är lika med 0, ekvationsfaktorerna till (A + B) (A-B).

Till exempel, ekvationen 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).

Bild med titeln Faktor algebraiska ekvationer Steg 11

2. Om ekvationen är i form A + 2AB + B, faktor den till (A + B). Observera att om trinomialen är i formuläret a-2AB + B, den faktiska formen är något annorlunda: (A-B).

Ekvationen 4x + 8xy + 4y kan skrivas om som 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Vi kan nu se att det är i rätt form, så vi kan med förtroende för att våra ekvationsfaktorer (2x + 2y)

Bild med titeln Factor Algebraic Equations Steg 12

3. Om ekvationen är i form A-B, faktor den till (A-B) (A + AB + B). Slutligen björnar det att nämna att kubik och till och med högre ordningens ekvationer kan faktureras, även om factoringprocessen snabbt blir otroligt komplicerat.

Till exempel 8x - 27y faktorer till (2x - 3y) (4x + ((2x) (3Y)) + 9Y)