Hur man hittar domänen och området av en funktion: 14 steg

Varje funktion innehåller två typer av variabler: oberoende variabler och beroende variabler, vars värden bokstavligen "beror på de oberoende variablerna. Till exempel, i funktionen y = f(x) = 2x + y, x är oberoende och y är beroende av (med andra ord, y är en funktion av x). De giltiga värdena för en given oberoende variabel x kallas kollektivt "domänen."De giltiga värdena för en given beroende variabel y kallas kollektivt "intervallet."

Steg

Del 1 av 3:

Hitta domänen av en funktion

1. Bestäm vilken typ av funktion du arbetar med. Funktionens domän är alla X-värden (horisontella axel) som ger dig en giltig Y-värdeutgång. Funktionekvationen kan vara kvadratisk, en fraktion eller innehålla rötter. För att beräkna domänen i funktionen måste du först utvärdera villkoren inom ekvationen.

En kvadratisk funktion har formen AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4
Exempel på funktioner med fraktioner innefattar: f (x) = (/_x), f (x) = /_{(x - 1)}, etc.
Funktioner med en rot innefattar: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x, etc.

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 2

2. Skriv domänen med korrekt notering. Att skriva domänen för en funktion innebär användningen av båda parenteserna [,] och parenteser (,). Du använder en konsol när numret ingår i domänen och använd en parentes när domänen inte innehåller numret. Brevet Du indikerar en union som förbinder delar av en domän som kan separeras av ett gap.

Till exempel, en domän av [-2, 10) U (10, 2] Innehåller -2 och 2, men inkluderar inte nummer 10.

Använd alltid parentes om du är en med hjälp av oändlighetssymbolen, ∞. Detta beror på att Infinity är ett koncept och inte ett nummer.

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 3

3. Rita ett diagram över den kvadratiska ekvationen. Kvadratiska ekvationer gör en parabolisk graf som antingen pekar upp eller ner. Med tanke på att parabolen fortsätter oändligt utåt på x-axeln, är domänen för de flesta kvadratiska funktionen alla reella tal. Uppges ett annat sätt, en kvadratisk ekvation omfattar alla X-värden på nummerlinjen, vilket gör sin domän R (Symbolen för alla reella tal).

För att få en uppfattning om funktionen väljer du något X-värde och anslut det till funktionen. Lösning av funktionen med detta X-värde kommer att mata ut ett Y-värde. Dessa X- och Y-värden är en koordinat (X, Y) av grafen av funktionen.

Plot den här koordinaten och upprepa processen med ett annat X-värde.

Plottar några värden på detta sätt bör ge dig en allmän ide om formen av den kvadratiska funktionen.

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 4

4. Ställ in denominatorn som är lika med noll, om det är en fraktion. När du arbetar med en fraktion kan du aldrig dela med noll. Genom att ställa in denominatorn lika med noll och lösning för X kan du beräkna de värden som kommer att uteslutas i funktionen.

Till exempel: Identifiera domänen för funktionen f (x) = /_{(x - 1)}.

Denominatorn för den här funktionen är (X-1).

Ställ den lika med noll och löser för x: x - 1 = 0, x = 1.

Skriv domänen: Domänen för den här funktionen kan inte innehålla 1, men innehåller alla reella tal utom 1- Därför är domänen (-∞, 1) U (1, ∞).

(-∞, 1) U (1, ∞) kan läsas som uppsättningen av alla reella tal exklusive 1.Infinity-symbolen, ∞, representerar alla reella tal. I det här fallet ingår alla reella tal som är större än 1 och mindre än en i domänen.

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 5

5. Ställ villkoren inuti radikalen för att vara större än eller lika med noll, om det finns en rotfunktion. Du kan inte ta kvadratroten av ett negativt tal - därför måste eventuellt x-värde som leder till ett negativt tal uteslutas från domänen av den funktionen.

Till exempel: Identifiera domänen för funktionen f (x) = √ (x + 3).

Villkoren inom radikalen är (x + 3).

Ställ dem större än eller lika med noll: (x + 3) ≥ 0.

Lös för x: x ≥ -3.

Domänen i den här funktionen innehåller alla reella tal större än eller lika med -3- Därför är domänen [-3, ∞).

Del 2 av 3:

Hitta utbudet av en kvadratisk funktion

1. Bekräfta att du har en kvadratisk funktion. En kvadratisk funktion har formen AX + BX + C: F (x) = 2x + 3x + 4. Formen på en kvadratisk funktion på ett diagram är parabola som pekar upp eller ner. Det finns olika metoder för att beräkna intervallet av en funktion beroende på vilken typ du arbetar med.

Det enklaste sättet att identifiera intervallet av andra funktioner, såsom rot- och fraktionsfunktioner, är att rita grafen av funktionen med en grafkalkylator.

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 7

2. Hitta X-värdet av vertexen i funktionen. Vertexen i en kvadratisk funktion är spetsen av parabolen. Kom ihåg att en kvadratisk ekvation är av formen AX + BX + C. För att hitta X-koordinatet använd ekvationen x = -b / 2a. Denna ekvation är ett derivat av den grundläggande kvadratiska funktionen som representerar ekvationen med en nollhöjning (vid grafens vertex är funktionens lutning noll).

Hitta exempelvis intervallet 3x + 6x -2.

Beräkna X-koordinat av vertex: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 8

3. Beräkna Y-värdet av vertexen i funktionen. Anslut X-koordinatet i funktionen för att beräkna motsvarande Y-värde av vertexen. Detta Y-värde anger kanten på ditt sortiment för funktionen.

Beräkna Y-koordinat: Y = 3x + 6x - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5.

Vertexet i denna funktion är (-1, -5).

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 9

4. Bestäm parabolens riktning genom att plugga in minst ett mer X-värde. Välj något annat X-värde och anslut det i funktionen för att beräkna motsvarande Y-värde. Om Y-värdet är över vertexet fortsätter parabolen till + ∞. Om Y-värdet är under vertexet fortsätter parabolen till -∞.

Använd X-värdet -2: y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12-12 -2 = -2.

Detta ger koordinaten (-2, -2).

Denna koordinat berättar att parabolen fortsätter ovanför vertexen (-1, -5) - därför omfattar intervallet alla Y-värden över -5.

Utbudet av denna funktion är [-5, ∞)

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 10

5. Skriv intervallet med korrekt notering. Liksom domänen är sortimentet skrivet med samma notering. Använd en konsol när numret ingår i domänen och använd en parentes när domänen inte innehåller numret. Brevet Du indikerar en union som förbinder delar av en domän som kan separeras av ett gap.

Till exempel en rad [-2, 10) U (10, 2] Innehåller -2 och 2, men inkluderar inte nummer 10.

Använd alltid parentes om du är en med hjälp av oändlighetssymbolen, ∞.

Del 3 av 3:

Hitta utbudet av en funktion grafiskt

1. Grafera funktionen. Oftast är det lättast att bestämma utbudet av en funktion genom att helt enkelt grafa den. Många rotfunktioner har en rad (-∞, 0] eller [0, + ∞) eftersom vertexet i sidledes parabola är på den horisontella, x-axeln. I det här fallet omfattar funktionen alla positiva Y-värden om parabolen går upp, eller alla de negativa Y-värdena om parabolen går ner. Fraktionsfunktioner kommer att ha asymptoter som definierar intervallet.

Vissa rotfunktioner börjar över eller under X-axeln. I det här fallet bestäms intervallet av den punkt som rotfunktionen börjar. Om parabolen börjar vid y = -4 och går upp, är intervallet [-4, + ∞).
Det enklaste sättet att grafera en funktion är att använda ett grafikprogram eller en grafkalkylator.
Om du inte har en grafkalkylator kan du rita en grov skiss av ett diagram genom att plugga X-värden till funktionen och få motsvarande Y-värden. Plot dessa koordinater på grafen för att få en uppfattning om grafens form.

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 12

2. Hitta minimum av funktionen. När du har givit funktionen, bör du tydligt se den lägsta punkten i grafen. Om det inte finns något uppenbart minimum, vet att vissa funktioner fortsätter till -∞.

En fraktionsfunktion kommer att innehålla alla punkter utom de i Asymptoten. De har ofta intervall som (-∞, 6) U (6, ∞).

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 13

3. Bestäm maximal funktion. Igen, efter grafan, bör du kunna identifiera den maximala punkten i funktionen. Vissa funktioner fortsätter vidare till + ∞ och därför kommer det inte att ha ett maximalt.

Bild med titeln Hitta domänen och intervallet av en funktion Steg 14

4. Skriv intervallet med korrekt notering. Liksom domänen är sortimentet skrivet med samma notering. Använd en konsol när numret ingår i domänen och använd en parentes när domänen inte innehåller numret. Brevet Du indikerar en union som förbinder delar av en domän som kan separeras av ett gap.

Till exempel en rad [-2, 10) U (10, 2] Innehåller -2 och 2, men inkluderar inte nummer 10.

Använd alltid parentes om du är en med hjälp av oändlighetssymbolen, ∞.