Hur man hittar den inverse av en 3x3-matris

Inverse operationer används vanligen i algebra för att förenkla vad som annars kan vara svårt. Till exempel, om ett problem kräver att du delar upp med en bråk, kan du lättare multiplicera med sin ömsesidiga. Detta är en invers operation. På samma sätt, eftersom det inte finns någon divisionsoperatör för matriser, måste du multiplicera med den inverse matrisen. Beräkning av den inverse av en 3x3-matris för hand är ett tråkigt jobb, men värt att granska. Du kan också hitta den inverse med en avancerad grafisk räknare.

Steg

Metod 1 av 3:
Skapa adjugatmatrisen för att hitta den inverse matrisen
  1. Bild med titeln Hitta den inverse av en 3x3 matris steg 1
1. Kontrollera matrisens determinant. Du måste beräkna matrisens determinant som ett initialt steg. Om determinant är 0, är ​​ditt arbete klart, eftersom matrisen inte har invers. Determinanten av matris M kan representeras symboliskt som det (M).
  • Bild med titeln Hitta den inverse av en 3x3 matris steg 2
    2. Transponera den ursprungliga matrisen. Genomförandeorgan som reflekterar matrisen kring den huvudsakliga diagonalen, eller ekvivalent, byta (i, j) th elementet och (j, i) th. När du transponerar villkoren i matrisen bör du se att den huvudsakliga diagonalen (från övre vänster till höger) är oförändrad.
  • Ett annat sätt att tänka på att transposera är att du skriver om den första raden som den första kolumnen, den mellersta raden blir mittkolonnen, och den tredje raden blir den tredje kolumnen. Lägg märke till de färgade elementen i diagrammet ovan och se var siffrorna har ändrats.
  • Bildtiteln Hitta den inverse av ett 3x3-matrissteg 3
    3. Hitta determinant för var och en av de 2x2-mindre matriserna. Varje objekt av den nyligen transposerade 3x3-matrisen är associerad med en motsvarande 2x2 "mindre" matris. För att hitta rätt mindre matris för varje term, markera först raden och kolumnen på den term du börjar med. Detta bör innehålla fem villkor i matrisen. De återstående fyra termerna utgör den mindre matrisen.
  • I det ovan beskrivna exemplet, om du vill ha den mindre matrisen på termen i den andra raden, den första kolumnen markerar du de fem termerna som finns i den andra raden och den första kolumnen. De återstående fyra termerna är motsvarande mindre matris.
  • Hitta determinant för varje mindre matris genom att multiplicera diagonalerna och subtrahera, som visas.
  • För mer på mindre matriser och deras användningsområden, se Förstå grunderna i matriser.
  • Bildtiteln Hitta den inverse av ett 3x3-matrissteg 4
    4. Skapa matrisen av kofaktorer. Placera resultaten från föregående steg i en ny matris av kofaktorer genom att anpassa varje mindre matris-determinant med motsvarande position i den ursprungliga matrisen. Således är det determinant som du beräknat från objektet (1,1) av den ursprungliga matrisen i läge (1,1). Du måste sedan vända tecknet på växlande villkor i den här nya matrisen, enligt "Checkerboard" -mönstret som visas.
  • Vid tilldela tecken, håller det första elementet i den första raden sitt ursprungliga tecken. Det andra elementet är omvänd. Det tredje elementet håller sitt ursprungliga tecken. Fortsätt med resten av matrisen på detta sätt. Observera att (+) eller (-) tecken i rutbordsdiagrammet inte föreslår att den slutliga termen ska vara positiv eller negativ. De är indikatorer på att hålla (+) eller reversering (-) oavsett det tecken som ursprungligen hade.
  • För en översyn av Cofactors, se Förstå grunderna i matriser.
  • Det slutliga resultatet av detta steg kallas adjugatmatrisen av originalet. Detta kallas ibland som adjointmatrisen. Adjuit matrisen noteras som adj (m).
  • Bildtiteln Hitta den inverse av ett 3x3-matrissteg 5
    5. Dela varje term av adjugatmatrisen av determinanten. Minns det determinant som du beräknat i det första steget (för att kontrollera att den inverse var möjlig). Du delar nu varje term av matrisen med det värdet. Placera resultatet av varje beräkning i den ursprungliga termen. Resultatet är den inverse av den ursprungliga matrisen.
  • För provmatrisen som visas i diagrammet är determinanten 1. Därför resulterar uppdelningen varje term av adjugatmatrisen i själva adjugattmatrisen. (Du kommer inte alltid vara så lycklig.)
  • I stället för att dividera representerar vissa källor detta steg som multiplicering varje term av m med 1 / det (m). Matematiskt är dessa likvärdiga.
    • Metod 2 av 3:
    Använda linjär radreduktion för att hitta den inverse matrisen
    1. Bildtiteln Hitta den inverse av ett 3x3-matrissteg 6
    1. Angränsande identitetsmatrisen till den ursprungliga matrisen. Skriv ut den ursprungliga matrisen m, rita en vertikal linje till höger om den, och skriv sedan identitetsmatrisen till höger om det. Du borde nu ha det som verkar vara en matris med tre rader med sex kolumner vardera.
    • Minns att identitetsmatrisen är en speciell matris med 1s i varje position av den huvudsakliga diagonalen från övre till vänster till höger och 0 i alla andra positioner. För en översyn av identitetsmatrisen och dess egenskaper, se Förstå grunderna i matriser.
  • Bildtiteln Hitta den inverse av ett 3x3-matrissteg 7
    2. Utför linjära radreduktionsoperationer. Ditt mål är att skapa identitetsmatrisen på vänster sida av den här nyligen utvidgade matrisen. När du utför radreduktionssteg till vänster måste du konsekvent utföra samma operationer till höger, som började som din identitetsmatris.
  • Kom ihåg att radreduktioner utförs som en kombination av scalär multiplikation och radaddition eller subtraktion, för att isolera enskilda villkor i matrisen. För en mer fullständig recension, se Rad-reducera matriser.
  • Bild med titeln Hitta den inverse av en 3x3 matris steg 8
    3. Fortsätt tills du bildar identitetsmatrisen. Håll upprepande linjära radreduktionsoperationer tills vänster sida av din förstärkta matris visar identitetsmatrisen (diagonal av 1s, med andra termer 0). När du har nått den här punkten kommer den högra sidan av din vertikala delare att vara den inverse av din ursprungliga matris.
  • Bild med titeln Hitta den inverse av ett 3x3 matris steg 9
    4. Skriv ut den inverse matrisen. Kopiera de element som visas på höger sida av den vertikala delaren som den inverse matrisen.
    • Metod 3 av 3:
    Använda en räknare för att hitta den inverse matrisen
    1. Bild med titeln Hitta den inverse av en 3x3 matris steg 10
    1. Välj en räknare med matrisfunktioner. Enkla 4-funktionalkylatorer kan inte hjälpa dig att hitta den inverse. På grund av beräknasens repetitiva karaktär kan emellertid en avancerad grafkalkylator, såsom Texas-instrumenten TI-83 eller TI-86, kraftigt minska arbetet.
  • Bildtiteln Hitta den inverse av ett 3x3-matrissteg 11
    2. Ange din matris i kalkylatorn. Ange först din kalkylators matrisfunktion genom att trycka på matrisnyckeln, om du har en. På Texas Instruments-kalkylatorer kan du behöva trycka på 2 matris.
  • Bild med titeln Hitta den inverse av en 3x3 matris steg 12
    3. Välj undermenyn Redigera. För att nå undermenyn kan du behöva använda pilknapparna eller välja lämplig funktionsknapp längst upp på kalkylatorens knappsats, beroende på din kalkylators layout.
  • Bild med titeln Hitta den inverse av ett 3x3 matris steg 13
    4. Välj ett namn för din matris. De flesta kalkylatorer är utrustade med att arbeta med var som helst från 3 till 10 matriser, märkta med bokstäver A genom J. Vanligtvis välj bara [A] för att arbeta med. Tryck på ENTER-tangenten efter att ha gjort ditt val.
  • Bild med titeln Hitta den inverse av ett 3x3 matris steg 14
    5. Ange dimensionerna i din matris. Denna artikel fokuserar på 3x3 matriser. Kalkylatorn kan dock hantera större storlekar. Ange antal rader och tryck sedan på ENTER och sedan antalet kolumner och ange.
  • Bild med titeln Hitta den inverse av ett 3x3-matris steg 15
    6. Ange varje element i matrisen. Kalkylatorskärmen visar en matris. Om du tidigare arbetade med matrisfunktionen visas den tidigare matrisen på skärmen. Markören kommer att markera det första elementet i matrisen. Skriv in värdet av den matris du vill lösa, och sedan ange. Markören flyttas automatiskt till nästa element i matrisen, skriver över några tidigare nummer.
  • Om du vill ange ett negativt tal, använd din räknemaskinens negativa knapp (-) och inte minus-tangenten. Matrisfunktionen läser inte numret korrekt.
  • Om det behövs kan du använda din räknare piltangenter för att hoppa runt matrisen.
  • Bild med titeln Hitta den inverse av ett 3x3-matrissteg 16
    7. Avsluta matrisfunktionen. När du har angett alla värden på matrisen, tryck på QUIT-knappen (eller 2, om det behövs). Detta kommer att lämna dig från matrisfunktionen och återgå till huvuddisplayen på din räknare.
  • Bildtiteln Hitta den inverse av ett 3x3-matrissteg 17
    8. Använd den inverse-knappen för att hitta den inverse matrisen. Först återuppta matrisfunktionen och använd namnknappen för att välja den matris-märkning som du använde för att definiera din matris (förmodligen [a]). Tryck sedan på din räknemaskinens inversa nyckel, x-1{ displayStyle x ^ {- 1}}x ^ {{- 1}}. Detta kan kräva att du använder 2-knappen, beroende på din räknare. Din skärmdisplay ska visa A-1{ displayStyle a ^ {- 1}}A ^ {{- 1}}. Tryck på Enter, och den inverse matrisen ska visas på din skärm.
  • Använd inte ^ -knappen på din räknare för att försöka skriva in en ^ -1 som separata tangenttryckningar. Kalkylatorn förstår inte denna operation.
  • Om du får ett felmeddelande när du anger den inverse-tangenten är chansen att din ursprungliga matris inte har en invers. Du kanske vill gå tillbaka och beräkna determinanten för att ta reda på det.
  • Bild med titeln Hitta den inverse av en 3x3 matris steg 18
    9. Konvertera din inverse matris till exakta svar. Den första beräkningen som räknaren kommer att ge dig är i decimalform. Detta anses inte "exakt" för de flesta ändamål. Du bör omvandla de decimala svaren på fraktionerad form, efter behov. (Om du är mycket lycklig, kommer alla dina resultat att vara heltal, men det här är sällsynt.)
  • Din räknare har förmodligen en funktion som automatiskt omvandlar decimalerna till fraktioner. Till exempel, med hjälp av TI-86, ange matematikfunktionen och välj sedan Misc, och sedan Frac och ange. Decimalerna visas automatiskt som fraktioner.
  • Bild med titeln Beräkna total kostnad Steg 1
    10. De flesta grafiska kalkylatorer har också kvadratiska tangenter (på TI-84 Det är 2: e + X och 2: a + -) som kan användas för att skriva in en matris utan att använda matrisfunktionen. Obs! Kalkylatorn kommer inte att formatera matrisen tills det har använts (i.e. Allt kommer att vara en linje och inte söt).

    • Video

    Genom att använda den här tjänsten kan viss information delas med YouTube.

    Tips

    Du kan följa dessa steg för att hitta den inverse av en matris som inte bara innehåller siffror utan även variabler, okända eller till och med algebraiska uttryck.
  • Kontrollera att ditt resultat är korrekt, beroende på vilket sätt du väljer, av multiplicera M av m. Du borde kunna verifiera att m * m = m * m = i. Jag är identitetsmatrisen, bestående av 1s längs huvuddiagonalen och 0s någon annanstans. Om inte, gjorde du ett fel någonstans.
  • Skriv ner alla dina steg eftersom det är extremt svårt att hitta den inverse av en 3x3-matris i huvudet.
  • Datorprogram finns som utarbetar matrisernas inversioner för dig, upp till och med storleken på 30x30 matriser.

    • Varningar

    Inte alla 3x3 matriser har inversioner. Om matrisens determinant är lika med 0, har den inte en invers. (Observera att i den formel vi delar upp med det (M). Division med noll är inte definierad.)
    Dela på det sociala nätverket:
    Liknande