Hur man skapar en apollonian packning

En Apollonian packning är en typ av fraktal bild som är formad av en samling av ständigt krympande cirklar som finns i en enda stor cirkel. Varje cirkel i Apollonian packningen är tangent till de intilliggande cirklarna - med andra ord, är cirklarna i Apollonian-packningen kontakt med oändligt småpunkter. Med namnet på den grekiska matematikiska Apollonius av Perga kan denna typ av fraktal dras (för hand eller via dator) till rimlig grad av komplexitet, som bildar en vacker, slående bild. Se steg 1 nedan för att komma igång.

Steg

Del 1 av 2:
Förstå nyckelbegrepp

För att vara helt klart, om du helt enkelt är intresserad av teckning En Apollonian packning, det är inte nödvändigt att undersöka matteprinciperna bakom fraktalen. Men om du vill ha en djupare förståelse av apolloniska packningar är det viktigt att förstå definitionerna av flera koncept som vi ska använda när de diskuterar dem.

  1. Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 1
1. Definiera nyckelvillkor. Följande termer används i anvisningarna nedan:
  • Apollonian packning: ett av flera namn för en typ av fraktal bestående av en serie cirklar som är inbäddade i en stor cirkel och tangent till alla andra i närheten. Dessa kallas också "Sody cirklar" eller "Kyssande cirklar".
  • Radius av en cirkel: Avståndet från mittpunkten för en cirkel till dess kant. Brukar tilldela variabeln r.
  • Krökning av en cirkel: den positiva eller negativa inversen av radien, eller ± 1 / r. Kurvaturen är positiv när den handlar om cirkelns yttre krökning och negativ för den inre krökningen.
  • Tangent: En term som tillämpas på linjer, plan och former som skär i en oändligt liten punkt. I Apollonian packningar hänvisar detta till det faktum att varje cirkel berör varje närliggande cirkel på bara en punkt. Observera att det inte finns några korsningar - tangentformer överlappar inte.
  • Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 2
    2. Förstå Descartes teorem.Descartes teorem är en formel som är användbar för att beräkna kretsens storlekar i en Apollonian-packning. Om vi ​​definierar krökningarna (1 / r) av några tre cirklar som a, b, och c, Därefter konstaterar ståndpunkten att cirkelns krökning (eller cirklar) tangent till alla tre, som vi kommer att definiera som d, är: D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)).
  • För våra ändamål använder vi i allmänhet svaret vi får genom att sätta ett plustecken framför kvadratroten (med andra ord, ... + 2 (sqrt (...)). För närvarande är det tillräckligt att veta att subtraktionsformen av ekvationen har sina användningsområden i andra relaterade uppgifter.
    • Del 2 av 2:
    Konstruera Apollonian-packningen

    Apolloniska packningar har formen av vackra fraktala arrangemang av krympande cirklar. Matematiskt har Apollonian packningar oändlig komplexitet, men om du använder ett datorritningsprogram eller traditionella ritverktyg kommer du så småningom att nå en punkt där det är omöjligt att rita cirklar som är mindre. Observera att ju mer exakt du ritar dina cirklar, desto mer kan du passa i din packning.

    1. Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 3
    1. Samla dina digitala eller analoga ritverktyg. I stegen nedan gör vi vår egen enkla Apollonian-packning. Det är möjligt att dra Apollonian packningar med hand eller på datorn. I båda fallen vill du kunna rita helt runda cirklar. Detta är ganska viktigt. Eftersom varje cirkel i en Apollonian packning är perfekt tangent till cirklarna bredvid den, kan cirklar som är till och med lite misshapen "kasta av sig" Din slutprodukt.
    • Om du ritar packningen på en dator behöver du ett program som låter dig enkelt rita cirklar av en fast radie från en central punkt. Gfig, en vektorritningsförlängning för det fria bildredigeringsprogrammet GIMP, kan användas, liksom ett brett utbud av andra ritningsprogram (se avsnittet Material för relevanta länkar). Du kommer också noga att behöva en räknareansökan och antingen ett ordbehandlingsdokument eller en fysisk anteckningsblock för att ta anteckningar om krökningar och radier.
    • För att dra packningen för hand behöver du en räknare (vetenskaplig eller grafisk föreslagen), en penna, kompass, linjal (helst en skala med millimeter markeringar, grafpapper och en anteckningsblock för notering.
  • Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 4
    2. Börja med en stor cirkel. Din första uppgift är lätt - bara rita en stor, perfekt rund cirkel. Ju större cirkeln är, desto mer komplex kan din packning vara, så försök att göra en cirkel så stor som ditt papper tillåter eller så stor som du enkelt kan se i ett fönster på ditt ritprogram.
  • Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 5
    3. Skapa en mindre cirkel inuti originalet, tangent till ena sidan. Därefter dra en annan cirkel inuti den första som är mindre än originalet, men fortfarande ganska stor. Den andra cirkelns exakta storlek är upp till dig - det finns ingen rätt storlek. Men för våra ändamål, låt oss dra vår andra cirkel så att den når exakt halvvägs över vår stora yttre cirkel. Med andra ord, låt oss dra vår andra cirkel så att dess centrala punkt är mittpunkten för den stora cirkelns radie.
  • Kom ihåg att i Apollonian packningar är alla cirklar som berör tangent till varandra. Om du använder en kompass för att rita dina cirklar för hand, återskapa denna effekt genom att sätta den skarpa punkten på kompassen i mitten av den stora yttre cirkelns radie, justera din penna så att den är bara berör kanten på den stora cirkeln och dra sedan din mindre inre cirkel.
  • Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 6
    4. Rita en identisk cirkel "mittemot" den mindre inre cirkeln. Därefter, låt oss dra en annan cirkel över hela vår första. Denna cirkel ska vara tangent till både den stora yttre cirkeln och den mindre inre cirkeln, vilket innebär att dina två inre cirklar kommer att röra vid den exakta mitten av den stora yttre cirkeln.
  • Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 7
    5. Applicera Descartes teorem för att hitta storleken på dina nästa cirklar. Låt oss sluta skriva ett ögonblick. Nu när vi har tre cirklar i vår packning, kan vi använda Descartes teorem för att hitta radien av nästa cirkel kommer vi att rita. Kom ihåg att Descartes teorem är D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)), där a, b och c är krökningarna av dina tre tangent cirklar och d är krökningen av cirkeln tangent till alla tre. Så, för att hitta radien av vår nästa cirkel, låt oss hitta krökningen av var och en av de cirklar vi hittills har så att vi kan hitta krökningen i nästa cirkel och konvertera sedan detta till sin radie.
  • Låt oss definiera radien av vår yttre cirkel som 1. Eftersom de andra cirklarna är inne, vi har att göra med dess interiör krökning (i stället för dess yttre krökning), och följaktligen vet vi att krökningen är negativ. - 1 / R = -1/1 = -1. Den stora cirkelns krökning är -1.
  • De mindre cirklarna radii är hälften så stor som den stora cirkeln, eller med andra ord 1/2. Eftersom dessa cirklar rör varandra och den stora cirkeln med sin utsidan, har vi att göra med deras exteriör krökning, så deras krökningar är positiva. 1 / (1/2) = 2. De mindre cirklarna är båda 2.
  • Nu vet vi att A = -1, B = 2 och C = 2 för våra Descartes teorem ekvation. Låt oss lösa för D:
  • D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))
  • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
  • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
  • d = -1 + 2 + 2 ± 0
  • d = -1 + 2 + 2
  • d = 3. Kurvaturen i vår nästa cirkel är 3. Sedan 3 = 1 / R är radien av vår nästa cirkel 1/3.
  • Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 8
    6. Skapa din nästa uppsättning cirklar. Använd radiusvärdet du just hittat för att rita dina nästa två cirklar. Kom ihåg att dessa kommer att vara tangent till de cirklar vars krökningar du använde för A, B och C i Descartes teorem. Med andra ord kommer de att vara tangent för både de ursprungliga och andra cirklarna. För att dessa cirklar ska vara tangent till alla tre cirklar måste du dra dem i de öppna utrymmena i topp och botten av området i din stora originalcirkel.
  • Kom ihåg att dessa cirklar radier kommer att vara lika med 1/3. Mät 1/3 tillbaka från kanten av den yttre cirkeln och dra sedan din nya cirkel. Det ska vara tangent för alla tre av de omgivande cirklarna.
  • Bild med titeln Skapa ett Apollonian packningssteg 9
    7. Fortsätt på detta sätt för att fortsätta lägga till cirklar. Eftersom de är fraktaler är Apollonian packningar oändligt komplexa. Det betyder att du kan lägga till mindre och mindre cirklar till ditt hjärta innehåll. Du är begränsad bara vara precisionen för dina verktyg (eller om du använder en dator, förmågan hos ditt ritprogram till "zooma in"). Varje cirkel, oavsett hur liten, bör vara tangent till tre andra cirklar. För att rita varje efterföljande cirkel i din packning, pluggar krökningarna i de tre cirklarna det kommer att vara tangent till i Descartes teorem. Använd sedan ditt svar (vilket kommer att vara radien av din nya cirkel) för att dra din nya cirkel exakt.
  • Observera att packningen vi har valt att rita är symmetrisk, så radien av en cirkel är densamma som motsvarande cirkel "mittemot det". Men vet att inte varje Apollonian packning är symmetrisk.
  • Låt oss ta itu med ett exempel. Låt oss säga att vi, efter att ha dragit vår sista uppsättning cirklar, vill nu dra de cirklar som är tangentiella mot vår tredje uppsättning, vår andra uppsättning och vår stora yttre cirkel. Krökningarna av dessa cirklar är 3, 2 respektive -1. Låt oss ansluta dessa siffror i Descartes teorem, ställa in a = -1, b = 2 och c = 3:
  • D = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2
  • d = 2, 6. Vi har två svar! Men för att vi vet att vår nya cirkel blir mindre än någon av de cirklar det är tangent till, bara en krökning av 6 (och därmed en radie av 1/6) är vettigt.
  • Vårt andra svar, 2, refererar faktiskt till den hypotetiska cirkeln på andra sidan av tangentpunkten för våra andra och tredje cirklar. Den här cirkeln är tangent till båda dessa cirklar och till den stora yttre cirkeln, men det skulle korsa de cirklar vi redan har ritat, så vi kan bortse från det.
  • Bildbetatled Skapa ett Apollonian packningssteg 10
    8. För en utmaning, försök att göra en icke-symmetrisk Apollonian-packning genom att ändra storleken på din andra cirkel. Alla apolloniska packningar börjar detsamma - med en stor yttercirkel som fungerar som kanten av fraktalen. Det finns dock ingen anledning att din andra cirkel nödvändigtvis har att ha 1/2 den första radien - vi valde bara att göra det ovan eftersom det är enkelt och lätt att förstå. För skojs skull, försök att starta en ny packning med en andra cirkel av en annan storlek - det kommer att leda till spännande nya utforskningsvägar.
  • Efter att ha dragit din andra cirkel (oavsett storlek) bör din nästa handling vara att rita en eller flera cirklar som är tangentliga både och till den stora yttre cirkeln - det finns inget rätt sätt att göra det heller. Därefter kan du använda Descartes teorem för att bestämma radierna för eventuella efterföljande cirklar, som visas ovan.

    • Tips

    Dela på det sociala nätverket:
    Liknande